Question:
Pourquoi la Terre n'est-elle pas une sphère?
WAF
2014-04-16 12:35:27 UTC
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Nous avons tous appris à l'école que la Terre était une sphère. En fait, il s'agit plutôt d'une sphère légèrement aplatie - un ellipsoïde de révolution aplati, également appelé sphéroïde aplati. Il s'agit d'une ellipse tournée autour de son axe le plus court. Quelles sont les raisons physiques de ce phénomène?

Je viens de faire un lien avec votre question dans [La «forme de poire» de la Terre est-elle principalement J₃?] (Https://space.stackexchange.com/q/45348/12102)
@Uhoh: Pour une vue plus détaillée de la forme de la terre, ne manquez pas l'influence de la convection, le nombre et la force des courants de convection et des couches dans le manteau, etc. Je ne me souviens pas où, mais ...
Trois réponses:
#1
+22
Kenshin
2014-04-16 13:01:26 UTC
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Normalement, en l'absence de rotation, la tenance naturelle de la gravité est de rassembler la Terre sous la forme d'une sphère.

Cependant, la Terre fait en fait un renflement à l'équateur, et le diamètre à travers le le plan équatorial est 42,72 km de plus que le diamètre d'un pôle à l'autre.

Ceci est dû à la rotation de la Terre.

enter image description here

Comme nous pouvons le voir sur l'image ci-dessus, le disque en rotation semble se gonfler aux points du disque les plus éloignés de l'axe de rotation.

En effet, pour que les particules du disque restent en orbite, il doit y avoir une force vers l'intérieur, connue sous le nom de force centripète, donnée par:

$$ F = \ frac {mv ^ 2} {r}, $$

où $ F $ est la force, $ m $ est la masse du corps en rotation, $ v $ est la vitesse et $ r $ est la rayon de particule par rapport à l'axe de rotation.

Si le disque tourne à une vitesse angulaire donnée, disons $ \ omega $, alors la vitesse tangentielle $ v $, est donnée par $ v = \ omega r $.

Par conséquent,

$$ F = m \ omega ^ 2r $$

Par conséquent, plus le rayon de la particule est grand, plus il faut de force pour maintenir une telle orbite.

Par conséquent, les particules sur la Terre près de l'équateur, qui sont les plus éloignées de l'axe de rotation, se gonflent vers l'extérieur parce qu'elles nécessitent une plus grande force vers l'intérieur pour maintenir leur orbite.


Détails supplémentaires pour plus de connaissances mathématiques maintenant que mathjax est activé:

La force nette sur un objet tournant autour de l'équateur avec un rayon $ r $ autour d'une planète avec une force gravitationnelle de $ \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} $ est la force centripète donnée par,

$$ F_ {net} = \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} - N = m \ omega ^ 2r, $$ où $ N $ est la force normale.

Réorganiser l'équation ci-dessus donne:

$$ N = \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} - m \ omega ^ 2r $$

La force normale ici est la force vers le bas perçue par les observateurs d'un corps en rotation. L'équation montre que la force vers le bas perçue est diminuée en raison du mouvement centripète. L'exemple typique pour illustrer cela est qu'il y a une apparence de gravité 0 dans un satellite en orbite autour de la Terre, car dans cette situation, la force centripète est exactement équilibrée par la force gravitationnelle. Sur Terre cependant, la force centripète est bien inférieure à la force gravitationnelle, nous percevons donc presque toute la contribution de $ mg $.

Nous allons maintenant examiner comment la force gravitationnelle perçue diffère à différents angles de latitude. Soit $ \ theta $ l’angle de latitude. Soit $ F_G $ la force de gravité.

En notation vectorielle, nous prendrons la direction $ j $ pour être parallèle à l'axe de rotation et la direction $ i $ perpendiculaire à l'axe de rotation.

En l'absence de rotation de la Terre,

$$ F_G = N = (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} \ cos \ theta) \ tilde {i} + (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} \ sin \ theta) \ tilde {j} $$

On voit facilement que l'équation ci-dessus représente la force de gravité perçue dans l'absence de rotation. Maintenant, la force centripète n'agit que dans la direction i, puisqu'elle agit perpendiculairement à l'axe de rotation.

Si nous laissons $ R_ {rot} $ le rayon de rotation, alors la force centripète est $ m_1 \ omega ^ 2R_ {rot} $, qui pour un angle de latitude de $ \ theta $ correspond à $ m_1 \ omega ^ 2r \ cos {\ theta} $

$$ N = (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} + m_1 \ omega ^ 2r) \ cos {\ theta} \ tilde {i} + (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2}) \ sin {\ theta} \ tilde { j} $$

En comparant cette équation au cas montré précédemment en l'absence de rotation, il apparaît que lorsque $ \ theta $ est augmenté (angle de latitude), l'effet de la rotation sur la gravité perçue devient négligeable, puisque la seule différence réside dans le composant $ x $ et $ \ cos \ theta $ approche 0 lorsque $ \ theta $ approche 90 degrés de latitude. Cependant, on peut également voir que lorsque thêta s'approche de 0, près de l'équateur, la composante $ x $ de la gravité est réduite du fait de la rotation de la Terre. Par conséquent, nous pouvons voir que la magnitude de $ N $ est légèrement inférieure à l'équateur qu'aux pôles. La réduction de l'attraction gravitationnelle apparente ici est ce qui donne lieu au léger bombement de la Terre à l'équateur , étant donné que la Terre n'était pas à l'origine aussi rigide qu'elle l'est aujourd'hui (voir autre réponse).

En supposant que la gravité est à peu près égale sur la surface du globe, n'est-ce pas?
@naught101 à droite - et la gravité est égale sur la surface à une approximation suffisante pour approcher la forme de la planète comme un ellipsoïde aplati. Je pense que la variation au-delà de cela ferait une excellente réponse en soi :-)
@SimonW: La page Wikipédia de la [gravité de la Terre] (https://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_on_Earth#Variation_in_gravity_and_apparent_gravity) répond probablement à la plupart de ces problèmes en suspens - elle semble assez complète.
@naught101 également, aux pôles, la gravité agit perpendiculairement à la force centripète, car la force gravitationnelle est dirigée vers le centre de gravité, tandis que la force centripète est dirigée vers l'axe de rotation.
@hugovdberg, c'est vrai. La plus grande force centripète dans la même direction que la gravité le long de l'équateur provoque une diminution relative de g du point de vue d'un observateur en rotation à l'équateur par rapport à un observateur aux pôles. C'est ce qui provoque le renflement. Je fournirai une description mathématique lorsque mathjax sera ajouté.
La force n'est pas la meilleure façon de voir cela. L'énergie donne une bien meilleure image. La surface de la Terre est très proche d'une surface d'énergie potentielle gravitationnelle et centrifuge constante. La figure de la Terre illustre le principe de la moindre action.
@DavidHammen, Je comprends que la plupart des gens utilisent des arguments énergétiques, mais je crois personnellement que l'argument force est plus intuitif pour ceux qui n'ont pas de formation en physique.
Je suis d'accord que les arguments énergétiques fournissent rarement beaucoup de perspicacité pour comprendre une question physique (du moins pour moi!), Car ils abordent fréquemment les questions dans leur ensemble sans traiter des causes physiques: la seule cause est «l'énergie doit être minimisée!». @Geodude Quoi qu'il en soit, la façon dont vous expliquez l'aplatissement de la Terre avec les forces est loin d'être complète à mon avis (voir ma réponse et les commentaires suivants). De plus, je suis perdu dans votre traitement mathématique, vous avez mélangé scalaires et vecteurs et $ F_ {net} $ est-il vraiment égal à $ m \ omega ^ 2r $?
@Gaialogist, Je ne crois pas avoir mélangé des scalaires et des vecteurs - pourriez-vous les signaler (Gmm / r ^ 2 est une force et mw ^ 2r est une force, qui sont toutes deux des quantités vectorielles)? Oui aussi, la force nette pour un objet sur Terre est la force centripète. Si la force nette était supérieure à centripète, l'objet s'enfoncerait dans la Terre. Si la force nette était inférieure au centripète, l'objet se déplacerait hors de la Terre - soit des sauts oscillatoires momentanés, soit s'échapper complètement de l'orbite. La gravité est plus grande que centripète, mais cet excès est équilibré par la force normale opposée à la gravité.
Pour un physicien, l'énergie fournit de bien meilleures informations que la force. L'énergie, et non la force, est le fondement de la mécanique lagrangienne et hamiltonienne. L'énergie, et non la force, est au cœur de la mécanique quantique et de la relativité générale.
@DavidHammen, un bon physicien n'a aucun problème à résoudre des problèmes en utilisant des arguments d'énergie ou des arguments de force. Un physicien peut reconnaître lorsqu'une approche est plus intuitive qu'une autre. À mon avis, les lois de Newton sont beaucoup plus intuitives que la mécanique hamiltonienne pour la physique classique, mais bien sûr, celles des lagrangiennes sont plus intuitives à utiliser en physique quantique. Cela dit, il est plus facile de résoudre ce problème particulier en utilisant des arguments énergétiques, mais je reste néanmoins plus intuitif pour ce problème, c'est pourquoi j'ai utilisé cette approche.
Comment la force explique-t-elle ** quelque chose ** ici? La force gravitationnelle n'est pas uniforme. Avec l'énergie et la thermodynamique, c'est facile. L'énergie potentielle gravitationnelle partout à la surface du est presque constante, et la raison en est la deuxième loi de la thermodynamique.
@DavidHammen, si vous regardez à travers ma réponse, vous verrez comment la force explique le renflement. La force gravitationnelle apparente est moindre à l'équateur qu'aux pôles, c'est pourquoi lors de la formation, la Terre gonfle ici. Peut-être pourriez-vous développer votre commentaire sur la 2e loi de la thermodynamique? http://chat.stackexchange.com/rooms/13909/earth-science
Cette force est moindre à l'équateur est un effet, pas une cause. La cause est l'énergie et la deuxième loi de la thermodynamique. (Première loi: vous ne pouvez pas gagner. Deuxième loi: vous ne pouvez pas non plus égaler. Troisième loi: c'est combien vous perdrez, minimum.) La deuxième loi dit que s'il y a un chemin vers le minimum d'un système configuration énergétique, le système trouvera ce chemin.
@DavidHammen, Je pense que vous avez mal interprété mes équations. La diminution de la gravité à l'équateur est une cause et non un effet, bien que le bombement puisse finalement conduire à une augmentation du rayon, et donc une diminution de la gravité, ce n'était pas mon argument.
@DavidHammen, la 2ème loi de la thermodynamique est la loi qui augmentera l'entropie http://en.wikipedia.org/wiki/Second_law_of_thermodynamics. Je ne sais pas comment cela s'applique à cette situation.
Une autre façon de le dire: les systèmes ont tendance à maximiser leur entropie. Commencez avec un système isolé. Si le système peut se déplacer vers un état d'énergie potentielle plus faible, il le fera à cause de la 2ème loi. Cette diminution de l'énergie potentielle signifie une augmentation de la température due à la conservation de l'énergie. L'entropie augmente jusqu'à ce que le système atteigne son énergie potentielle minimale, moment auquel l'entropie est maximisée. Un système non isolé se déplacera de la même façon vers son minimum d'énergie potentielle, mais maintenant il irradiera cette chaleur dans l'espace. L'entropie de l'univers augmente.
#2
+15
Gaialogist
2014-04-23 14:33:48 UTC
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En fait, la raison pour laquelle la Terre n'est pas une sphère est double:

  1. la Terre tourne et tourne depuis longtemps
  2. la Terre n'est pas parfaitement rigide, il peut même être considéré comme un fluide visqueux sur de longues échelles de temps

Si la Terre ne tournait pas, ce serait une sphère. Si la Terre avait commencé à tourner très récemment, elle ne serait pas à l'équilibre, donc probablement pas l'ellipsoïde de révolution que nous connaissons.Le dernier mais non le moindre, si la Terre était parfaitement rigide, elle ne serait déformée par aucun processus, y compris la rotation, et aurait donc toujours sa forme initiale .

On peut considérer que la Terre est un fluide en équilibre hydrostatique (c'est-à-dire un fluide au repos) en chaque point, en tenant compte à la fois de l'effet de la pesanteur et de la (pseudo) force centrifuge due à la rotation. Ensuite, si nous recherchons la forme de la surface de la Terre dans cette condition, la solution est un ellipsoïde de révolution. Il est très proche de la surface réelle de la Terre, ce qui est une bonne preuve que notre hypothèse initiale - fluide rotatif en équilibre hydrostatique - est raisonnable pour une longue échelle de temps.

L'étude de cette question est liée au célèbre L'équation de Clairaut du nom du célèbre scientifique français qui a publié le traité Théorie de la figure de la terre à la fin du XVIIIe siècle.

NB: si nous expliquons simplement la renflement à l'équateur se référant à l'effet de la pseudo-force centrifuge et ignorant la question de l'équilibre hydrostatique, nous devrions conclure que le rayon polaire est le même avec ou sans rotation. Cependant, il est plus petit: environ 6357 km contre 6371 km pour une Terre sphérique de volume égal.

comment savoir ce que le rayon polaire sera de 6371 km sans rotation? 6371 km est le rayon moyen de la Terre, et il est plus grand que le rayon polaire car le renflement équatorial a déformé le rayon à mon avis.
On sait simplement que la Terre aurait le même volume (l'incompressibilité est supposée) et serait une sphère si elle ne tournait pas, donc un rayon polaire de 6371 km. 6371 km n'est pas le [rayon moyen de la Terre] (http://www.wolframalpha.com/input/?i=earth+mean+radius), c'est comme j'ai écrit le rayon d'une «Terre sphérique de [volume égal ] (http://www.wolframalpha.com/input/?i=earth+volume) ».
Mieux vaut tard que jamais: mon erreur concernant la discussion sur les rayons de la Terre. En très bonne approximation, en raison de la faible valeur de l'aplatissement de la Terre, 6371 km est [en même temps] (https://en.wikipedia.org/wiki/Earth_radius#Global_average_radii) (1) le rayon moyen arithmétique, (2 ) le rayon authalique ou d'aire égale et (3) le rayon volumétrique ou de volume égal Cela ne change pas la première partie de mon commentaire précédent, cependant: le rayon polaire de la Terre * est également modifié par la rotation *, ce qui n'est pas expliqué dans la réponse la plus votée / acceptée.
#3
+7
David Hammen
2014-04-28 18:07:33 UTC
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Le fait que la Terre soit à peu près un sphéroïde aplati s'explique mieux par l'énergie.

Placez une bille dans un bol. Peu importe où vous le placez, il finira par se poser au fond du bol. C'est la position qui minimise l'énergie totale du marbre soumis à la contrainte d'être dans le bol. Suspendez une chaîne entre deux poteaux. Au repos, la chaîne prendra une forme bien connue, celle d'une courbe caténaire. C'est la forme qui minimise l'énergie de la chaîne, sous réserve de la contrainte d'être suspendue entre les deux poteaux.

Si vous placez la bille loin du fond elle roulera pendant un moment avant d'arriver à du repos. Si vous éloignez la chaîne de sa forme de caténaire, elle va osciller d'avant en arrière pendant un certain temps avant de s'immobiliser dans cette forme stable. Le marbre décentré et la chaîne hors plan ont des énergies potentielles plus importantes que dans leur configuration stable. Dans la mesure du possible, la nature tentera de minimiser l'énergie potentielle totale. C'est une conséquence de la deuxième loi de la thermodynamique.

Dans le cas de la Terre, cette configuration d'énergie minimale est une surface sur laquelle la somme des énergies potentielles gravitationnelle et centrifuge est constante. Quelque chose qui fait dévier la Terre de cette surface équipotentielle entraînera une augmentation de cette énergie potentielle. La Terre finira par s'ajuster dans cette configuration d'énergie minimale. Cette surface équipotentielle serait un sphéroïde aplati sans les variations de densité telles qu'une croûte continentale épaisse et légère à un endroit, une croûte océanique mince et dense à un autre.

En termes de force, la quantité que nous appelons g est le gradient des énergies potentielles gravitationnelle et centrifuge (spécifiquement, $ \ vec g = - \ nabla \ Phi $). Puisque la surface de la Terre est très proche d'être une surface équipotentielle et que cette surface à son tour est très proche d'être un sphéroïde aplati, la gravitation aux pôles est nécessairement légèrement plus élevée qu'à l'équateur.

Ceci la force gravitationnelle ne sera pas normale à la surface aux endroits où la surface s'écarte de la surface équipotentielle. La composante tangentielle de la force gravitationnelle se traduit par des endroits où l'eau s'écoule vers le bas et par des contraintes et des déformations à la surface de la Terre. Les réponses éventuelles à ces forces tangentielles sont l'érosion, les inondations et parfois même les tremblements de terre qui ramènent finalement la Terre à sa forme d'équilibre.


Mise à jour: Pourquoi est-ce la bonne image?

Sur la base de commentaires ailleurs, un certain nombre de personnes ne comprennent pas pourquoi l'énergie plutôt que la force est la bonne façon de regarder ce problème, ou comment la deuxième loi de la thermodynamique entre en jeu.

Il existe un certain nombre de manières différentes d'énoncer la deuxième loi de la thermodynamique. La première est qu'un système tend vers un état qui maximise son entropie. Par exemple, mettez deux blocs à deux températures différentes en contact l'un avec l'autre. Le bloc plus froid se réchauffera et le bloc plus chaud se refroidira jusqu'à ce que les deux blocs soient à la même température, grâce à la deuxième loi de la thermodynamique. Cette température uniforme est l'état qui maximise l'entropie de ce système à deux blocs.

Ces deux blocs n'ont que de l'énergie thermique. Qu'en est-il d'un système à énergie mécanique non nulle? Le frottement va presque inévitablement saper l'énergie cinétique du système. Ce frottement signifie que l'énergie mécanique du système diminuera jusqu'à ce qu'elle atteigne un minimum global, le cas échéant. Pour un corps rotatif, dissipatif et auto-gravitant, ce minimum global existe et c'est une forme sphéroïde (plus ou moins) aplatie.

Avez-vous des exemples de tremblements de terre dus à la déviation de la croûte par rapport à la surface équipotentielle plutôt qu'à une contrainte tectonique? Cet exemple me semble étrange ... Autre chose: la force gravitationnelle peut être normale à la surface même lorsqu'elle s'écarte du géoïde (et pas normale même lorsqu'elle ne dévie pas).
@Gaialogist - En ce qui concerne votre deuxième question, le géoïde est la surface équipotentielle la plus proche du niveau moyen de la mer. Puisque l'accélération gravitationnelle est le gradient du potentiel gravitationnel, le vecteur d'accélération gravitationnelle est nécessairement normal au géoïde. C'est dans les maths. Voici une réponse pertinente sur math.stackexchange.com: http://math.stackexchange.com/questions/122222/proving-gradient-of-a-scalar-field-is-perpendicular-to-equipotential-surface.
En ce qui concerne votre première question, beaucoup de ces stress tectoniques sont une conséquence directe du fait que la Terre est éloignée de l'équilibre hydrostatique ou d'une forme d'équilibre. Poussée de faîtage et traction de dalle, par exemple.
Il est normal que la gravité soit normale au géoïde, mais la surface ne doit pas correspondre au géoïde pour avoir la gravité normale dessus ou réciproquement. Considérons une surface proche et parallèle au géoïde mais non superposée: elle peut avoir une gravité normale; Considérons une surface traversant le géoïde: sur la ligne de croisement les deux surfaces correspondent mais la gravité n'est pas normale à la surface de la Terre.
Pour ma première question, je suis d'accord avec l'argument de l'équilibre pour expliquer tout mouvement dans (ou sur) la Terre. Je pense simplement qu'il est audacieux de faire le lien entre les composantes tangentielles du vecteur de gravité et les tremblements de terre. Peut-être que ce point de vue pourrait même inverser à tort les causes et les conséquences (l'impact des structures tectoniques sur les anomalies gravimétriques, pas le contraire) ...


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
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