Selon la loi de la gravité de Newton basée sur la force d'attraction (force gravitationnelle) que deux masses exercent l'une sur l'autre:

$ $ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} $$

Où:

• $ F $ est la force gravitationnelle
• $ G = 6.67 \ times 10 ^ {- 11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm { kg} ^ {- 1} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ est une constante de proportionnalité
• $ M $ span> et $ m $ sont les deux masses exerçant les forces
• $ r $ span > est la distance entre les deux centres de masse.

De la deuxième loi du mouvement de Newton :

$$ F = ma $$

Où:

• $ F $ est la force appliquée à un objet
• $ m $ est la masse de l'objet
• $ a $ est son accélération due à la force.

Équation des deux équations :

$$ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} = ma $$

$$ \ frac {GM} {r ^ 2} = a $$ (Le $ m $ est annulé.)

Maintenant résoudre pour $ M $ , la masse de la Terre.

$$ M = \ frac { ar ^ 2} {G} $$

Où $ a = 9.8 \ \ mathrm {m} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ , $ r = 6.4 \ times 10 ^ 6 \ \ mathrm {m} $ et $ G = 6,67 \ fois 10 ^ {- 11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm {kg} ^ {- 1} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ .

$$ M = 9,8 \ fois (6,4 \ fois 10 ^ 6) ^ 2 / (6,67 \ fois 10 ^ {- 11}) \ \ mathrm {kg} $$

Par conséquent,

$ M = 6,0 \ fois 10 ^ {24} \ \ mathrm {kg} $

Remarque: j'ai mis à jour cette réponse pour inclure une description des techniques historiques.

Techniques historiques

Newton a développé sa théorie de la gravitation principalement pour expliquer les mouvements des corps qui forment le système solaire. Il s'est également rendu compte que si la gravité fait tourner la Terre en orbite autour du Soleil et de la Lune en orbite autour de la Terre, elle est également responsable de la chute des pommes des arbres. Tout attire tout le reste, gravitationnellement. Cela suggère que l'on pourrait en théorie mesurer l'attraction gravitationnelle entre une paire de petites sphères. Newton lui-même s'en rendit compte, mais il ne pensa pas que c'était très pratique. Certainement pas deux petites sphères (Newton 1846):

D'où une sphère d'un pied de diamètre, et de même nature à la terre, attirerait un petit corps placé près de sa surface avec une force 20000000 fois moins que la terre ferait si elle était placée près de sa surface; mais une si petite force ne pouvait produire aucun effet sensible. Si deux de ces sphères étaient distantes mais de 1 pouce, elles ne se réuniraient pas, même dans des espaces dépourvus de résistance, par la force de leur attraction mutuelle en moins d'un mois; et moins de sphères se rassembleront à un rythme encore plus lent, à savoir dans la proportion de leurs diamètres.

Peut-être une montagne?

Non, des montagnes entières le feront ne suffit pas à produire un effet sensible. Une montagne d'une figure hémisphérique, trois milles de haut et six de large, ne tirera pas, par son attraction, le pendule à deux minutes de la vraie perpendiculaire: et ce n'est que dans les grands corps des planètes que ces forces doivent être perçue, ...

L'idée de Newton sur l'impossibilité pratique de telles mesures minuscules se révélerait incorrecte. Newton ne savait pas que la révolution scientifique qu'il avait lui-même contribué à propulser rendrait rapidement possible des mesures aussi minuscules.

Peser la Terre à l'aide des montagnes

La première tentative de "peser la Terre" a été faite lors de la mission géodésique française au Pérou par Pierre Bouguer, Charles Marie de La Condamine et Louis Godin. Leur mission principale était de déterminer la forme de la Terre. La Terre avait-elle un renflement équatorial, comme l'a prédit Newton? (Les Français avaient envoyé une équipe différente en Laponie pour accomplir la même fin.) Bouguer a utilisé le voyage comme une occasion de tester la suggestion de Newton qu'une montagne détournerait un fil à plomb de la normale. Il a choisi Chimborazo comme montagne de sujet. Malheureusement, les mesures se sont complètement trompées. Le fil à plomb a été dévié, mais dans la mauvaise direction. Bouguer a mesuré une légère déviation par rapport à la montagne (Beeson, page Web).

La prochaine tentative était l'expérience de Schiehallion. En examinant la ligne Mason-Dixon, Charles Mason et Jeremiah Dixon ont constaté que parfois leurs étalonnages ne pouvaient tout simplement pas être mis en accord les uns avec les autres. La cause était que leurs plombs à plomb s'écartaient parfois de la normale étudiée. Cette découverte a conduit à l'expérience Schiehallion menée par Nevil Maskelyne. Contrairement à Bouguer, Maskelyne a obtenu un résultat positif, une déviation de 11,6 secondes d'arc, et dans la bonne direction. Les déformations observées ont conduit Maskelyne à conclure que la densité moyenne de la Terre est 4,713 fois celle de l'eau (von Zittel 1914).

Il s'avère que l'idée de Newton d'utiliser une montagne est fondamentalement erronée. D'autres ont essayé de répéter ces expériences en utilisant d'autres montagnes. Beaucoup ont mesuré une déformation négative, tout comme Bouguer. Il y a une bonne raison à cela. Pour la même raison que nous ne voyons qu'une petite partie d'un iceberg (la majeure partie est sous l'eau), nous ne voyons qu'une petite partie d'une montagne. La majeure partie de la montagne se trouve à l'intérieur de la Terre. Une énorme montagne isolée devrait faire dévier un fil à plomb de la montagne.

Peser la Terre avec de petites masses

Donc, si l'utilisation des montagnes est douteuse, qu'est-ce que cela dit sur le doute d'utiliser de petites masses qui prendraient des mois pour s'approcher les unes des autres même si elles étaient séparées de quelques centimètres?

Cette idée était à la base de l'expérience Cavendish (Cavendish 1798). Cavendish a utilisé deux petites et deux grandes sphères de plomb. Les deux petites sphères étaient suspendues aux extrémités opposées d'un bras horizontal en bois. Le bras en bois était à son tour suspendu par un fil. Les deux grandes sphères étaient montées sur un appareil séparé qu'il pouvait faire tourner pour amener une grande sphère très près d'une petite sphère. Cette séparation étroite a entraîné une force gravitationnelle entre les petites et grandes sphères, ce qui a entraîné la torsion du fil retenant le bras en bois. La torsion dans le fil a agi pour contrebalancer cette force gravitationnelle. Finalement, le système s'est installé dans un état d'équilibre. Il a mesuré la torsion en observant la déviation angulaire du bras par rapport à son état non torsadé. Il a calibré cette torsion par un autre ensemble de mesures. Enfin, en pesant ces sphères de plomb, Cavendish a pu calculer la densité moyenne de la Terre.

Notez que Cavendish n'a pas mesuré la constante gravitationnelle universelle G. Il n'y a aucune mention d'une constante gravitationnelle dans l'article de Cavendish. L'idée que Cavendish mesurait G relève un peu du révisionnisme historique. La notation moderne de la loi de Newton de la gravitation universelle, $ F = \ frac {GMm} {r ^ 2} $, n'existait tout simplement pas à l'époque de Cavendish. Ce n'est que 75 ans après les expériences de Cavendish que la loi de Newton de la gravitation universelle a été reformulée en termes de constante gravitationnelle G.Les scientifiques de l'époque de Newton et Cavendish ont écrit en termes de proportionnalités plutôt que d'utiliser une constante de proportionnalité.

L'intention même de l'expérience de Cavendish était de "peser" la Terre, et c'est exactement ce qu'il a fait.

Techniques modernes

Si la Terre était sphérique, s'il n'y avait pas d'autres effets perturbateurs tels que l'accélération gravitationnelle vers la Lune et le Soleil, et si la théorie de la gravitation de Newton était correcte, la période d'un petit satellite en orbite autour de la Terre est donnée par la troisième loi de Kepler: $ \ left (\ frac T {2 \ pi} \ right) ^ 2 = \ frac {a ^ 3} {GM_E} $. Ici $ T $ est la période du satellite, $ a $ est le demi-grand axe du satellite (rayon orbital), $ G $ est la constante gravitationnelle universelle et $ M_E $ est la masse de la Terre.

A partir de là, c'est facile à résoudre pour le produit $ G M_E $ si la période $ T $ et le rayon orbital $ a $ sont connus: $ G M_E = \ left (\ frac {2 \ pi} T \ right) ^ 2 un ^ 3 $. Pour calculer la masse de la Terre, il suffit de diviser par $ G $. Il y a un hic, cependant. Si le produit est $ G M_E $ est connu avec un haut degré de précision (et c'est le cas), la division par $ G $ perdra beaucoup de précision car la constante gravitationnelle $ G $ n'est connue qu'avec quatre décimales de précision. Ce manque de connaissance de $ G $ empoisonne intrinsèquement toute mesure précise de la masse de la Terre.

J'ai mis beaucoup de mises en garde sur ce calcul:

• La Terre n'est pas pas sphérique. La Terre est mieux modélisée comme un sphéroïde aplati. Ce renflement équatorial perturbe les orbites des satellites (tout comme les écarts par rapport au modèle sphéroïde oblat).
• La Terre n'est pas seule dans l'univers. La gravitation de la Lune et du Soleil (et des autres planètes) perturbe les orbites des satellites. Il en va de même pour les radiations du Soleil et de la Terre.
• La théorie de la gravitation de Newton n’est qu’à peu près correcte. La théorie de la relativité générale d'Einstein fournit un meilleur modèle. Les écarts entre les théories de Newton et d'Einstein deviennent observables à partir de mesures précises sur une longue période de temps.

Ces perturbations doivent être prises en compte, mais l'idée de base est toujours d'actualité: on peut «peser la Terre» en observant précisément un satellite pendant une longue période. Ce qu'il faut, c'est un satellite spécialement adapté à cette fin. Le voici:

Voici LAGEOS-1, lancé en 1976. Un jumeau identique, LAGEOS-2, a été déployé en 1992. Ils sont extrêmement satellites simples. Ils n'ont aucun capteur, aucun effecteur, aucun équipement de communication, aucune électronique. Ce sont des satellites complètement passifs. Ce ne sont que des boules en laiton massif de 60 cm de diamètre, couvertes de rétroréflecteurs.

Au lieu de demander au satellite de faire des mesures, les gens au sol visent des lasers vers les satellites. Le fait que les satellites soient recouverts de rétroréflecteurs signifie qu'une partie de la lumière laser qui frappe un satellite sera réfléchie vers la source. Le chronométrage précis du délai entre l'émission et la réception de la lumière réfléchie donne une mesure précise de la distance au satellite. La mesure précise du changement de fréquence entre le signal émis et le signal de retour donne une mesure précise de la vitesse à laquelle la distance change.

En accumulant ces mesures au fil du temps, les scientifiques peuvent déterminer très précisément les orbites de ces satellites, et à partir de là, ils peuvent "peser la Terre". L'estimation actuelle du produit $ G M_E $ est $ G M_E = 398600.4418 \ pm 0.0009 \ \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $. (NIMA 2000). Cette petite erreur signifie que la précision est de 8,6 décimales. La quasi-totalité de l'erreur dans la masse de la Terre proviendra de l'incertitude de $ G $.

Références

M. Beeson, "Bouguer échoue à peser la Terre" (page Web)

H. Cavendish, "Expériences pour déterminer la densité de la Terre", Phil. Trans. R. Soc. Londres, 88 (1798) 469-526

I. Newton (traduit par A. Motte), Principia, Le système du monde (1846)

Rapport technique NIMA TR8350.2, "Department of Defense World Geodetic System 1984, Its Definition and Relationships With Local Geodetic Systems", troisième édition, janvier 2000

K. von Zittel (traduit par M. Ogilvie-Gordon), "Histoire de la géologie et de la paléontologie jusqu'à la fin du dix-neuvième siècle", (1914)

La masse de la Terre peut être déterminée par l'expérience dite de Cavendish. Henry Cavendish a utilisé un appareil pour déterminer la constante gravitationnelle G qui apparaît dans l'équation complète de la force gravitationnelle:

$$ F = {Gm_1m_2 \ over R ^ 2} $$

où $ m_1 $ et $ m_2 $ sont les masses de deux objets, $ R $ la distance entre les centres de gravité des objets et $ G $ la constante gravitationnelle (environ 6,674 $ \ fois 10 ^ {- 11} \ mathrm {N ~ m ^ 2 ~ kg ^ {- 2}} $).

Comme le diamètre de la Terre est connu, ainsi que la constante gravitationnelle, la détermination de la force gravitationnelle sur un objet de masse connue nous donne la masse de l'objet exerçant cette force (donc la Terre).

Cavendish a peut-être utilisé une approche plus directe, mais Neville Maskelyn l'a fait plus tôt lors de l ' expérience Schiehallion - publiée en 1778. Il s'agit en fait d'une histoire des Lumières impliquant de l'argent restant de l'expédition de Cook pour observer le transit. de Vénus; Mason & Dixon; et même Benjamin Franklin a été impliqué dans la planification initiale.

Schiehallion est une montagne symétrique et relativement isolée en Écosse. En mesurant la forme (et en inventant des courbes de niveau dans le processus!), Il est possible de calculer le volume. À partir de l'échantillonnage des roches, vous pouvez ensuite calculer la masse de la montagne. En regardant la déviation du pendule, vous pouvez calculer le rapport de la masse de la Terre à la masse de Schiehallion.

En utilisant un modèle numérique de terrain moderne et des modèles géologiques, les mesures du pendule de Maskelyn donnent un résultat en accord avec le courant valeur acceptée de G (ou M - ce sont les deux faces d'une même pièce).

En passant, j'ai fait une randonnée sur la montagne il y a environ 18 mois. Si le temps est clair, vous obtenez des vues merveilleuses car il n'y a pas de montagnes qui se ferment (ce qui interférerait également avec les mesures).

Le moyen le plus simple est d'utiliser un gravimètre à partir d'un satellite et de résoudre la célèbre équation de la loi carrée inverse que Newton a inventée il y a des siècles.

Une autre façon, qui pourrait être un exercice intéressant (j'avais le faire dans un cours de géophysique de la Terre solide) est de supposer une terre à 4 couches (croûte, manteau, noyau externe, noyau interne). Utilisez les données sismiques pour obtenir non seulement les profondeurs de chaque couche (à travers les réflexions S / P), mais également les densités de chaque couche à travers les vitesses sismiques. Vous pouvez supposer des densités homogènes pour chaque "coquille" et trouver la masse en utilisant la circonférence de la terre (et donc le diamètre).

Vous pouvez également le résoudre en utilisant les lois de kepler / newton du mouvement planétaire, si vous connaissez la distance entre deux corps (Terre et Lune / Terre et Soleil).

IE, il y a de nombreuses façons dont la loi de la gravité de Newton nous donne une très bonne approximation de la masse terrestre.