Je me souviens avoir lu dans un livre de géologie qu'un sismogramme est une convolution entre un signal source et des effets de propagation. En termes simples, qu'est-ce que cela signifie vraiment?
En termes simples, cela signifie simplement que:
si le signal source est décalé d'un certain temps Δt , mais autrement inchangé, alors le sismogramme sera également décalé de Δt , mais autrement inchangé; et
le sismogramme généré par la somme de deux (ou plus) signaux sources est la somme des sismogrammes qui auraient été générés par chacun des signaux sources individuels.
En gros, cela fonctionne exactement comme un écho ordinaire: ce que vous entendez est le son original, ou plutôt plusieurs échos qui se chevauchent, chacun vous atteignant par un chemin différent, retardé et atténué par des quantités variables lors de sa propagation.
Mathématiquement, ce processus peut être représenté en convoluant la forme d'onde du signal source avec une fonction, appelée noyau de convolution , qui décrit comment le signal est étalé et divisé en plusieurs échos. Plus précisément, le noyau de convolution se dirige vers le nord plus ou moins que la forme d'onde de l'écho qui serait, en principe, produit par un signal source " impulsion unité idéale", c'est-à-dire un signal source constitué d'une seule impulsion de pression sonore infiniment courte transportant une unité d'énergie. Pour cette raison, le noyau de convolution est également connu sous le nom de réponse impulsionnelle du système.
Le processus de convolution lui-même, dans le cas le plus simple, revient simplement à additionner plusieurs copies mises à l'échelle de la réponse impulsionnelle. Plus précisément, c'est le cas lorsque le signal d'entrée peut être représenté (ou au moins approché) comme une somme de plusieurs impulsions pures. Plus généralement, tout signal d'entrée peut être représenté mathématiquement comme une somme - ou, plus exactement, une intégrale - d'une infinité de petites impulsions espacées infiniment étroitement *, auquel cas le Le sismogramme résultant est simplement l'intégrale d'une infinité de copies décalées infiniment petites de la réponse impulsionnelle. C'est précisément ce que fait une convolution.
*) Les mathématiciens, et peut-être certains physiciens, qui liront ceci vont grincer des dents à ce stade; alors qu'une somme d'impulsions peut en effet approcher n'importe quelle fonction en tant que mesure au sens faible, ce n'est pas une bonne approximation dans la plupart des autres sens. Néanmoins, c'est c'est une manière assez utile et concrète de penser aux convolutions.
Une des raisons pour lesquelles penser aux sismogrammes comme des convolutions est utile est que, si nous connaissons le physique de la propagation sismique et de la structure géologique de la zone à travers laquelle le signal se propage, nous pouvons calculer la fonction de réponse impulsionnelle théorique du système et la convoluer avec un signal source simulé pour obtenir un sismogramme synthétique. A l'inverse, étant donné un sismogramme réel et le signal source qui l'a produit, on peut les déconvoluer pour obtenir une approximation de la réponse impulsionnelle, qui peut alors fournir des informations tomographiques sur la géologie .
La raison pour laquelle nous utilisons la convolution est que nous considérons la Terre comme un système passif linéaire, invariant dans le temps. La sortie d'un tel système est la convolution de l'entrée et la réponse impulsionnelle du système.
"linéaire" signifie que si l'entrée x (t) produit la sortie X (t) et l'entrée y (t) produit la sortie Y (t), puis l'entrée Ax (t) + By (t) produit la sortie AX (t) + BY (t) [où A & B sont des constantes, t est le temps]
"temps -invariant "signifie que si l'entrée x (t) produit la sortie X (t), alors l'entrée x (tT) produira la sortie X (tT)
" passive "signifie que si l'entrée commence au temps T alors aucune sortie n'est produite avant le temps T.